División de expresiones
Esta operación tiende a ser la mas odiada entre los alumnos de preparatoria y universidad debido a que se observa, a simple vista, que es muy extensa cuando en realidad no lo es.
Al igual que el producto con expresiones algebraicas, la división (también denominada cociente) se puede dar de distintas maneras, siendo las más comunes 3 casos del tipo: monomio - monomio (Caso 1), monomio - polinomio (Caso 2) y polinomio - polinomio (caso 3). Como estarás pensado, si es que ya leíste el tema de producto, el caso 3 esta formado por casos 2 y cada uno de estos casos 2 son casos 1, entonces te recomiendo poner mucha atención en cada paso que se hará para resolver cocientes entre expresiones.
Tip: Estudia ley de exponentes para el cociente y así mismo la ley de signos para esta la división de dos números. Se resaltará un poco estos temas en las imágenes, pero deberás ser capaz de analizar que esta pasaría, por ejemplo, si los exponentes fueran también literales o si fueran negativos.
Caso 1: Monomios
Para el primer caso tenemos la división de un monomio entre un monomio, cada uno de ellos con un solo coeficiente (positivo o negativo) y tantas literales como se le antoje al profe (cada una con un exponente).
El procedimiento en este caso es muy parecido al caso uno de la multiplicación, donde primero operábamos los coeficientes y luego las literales entre ellas, recordando que un tipo letra solo puede ser operada con una de su mismo tipo (no puedes dividir x entre z, pero si n entre n).
Observa el siguiente ejemplo:
Así, los pasos serían:
1.- Realizar la división entre los coeficientes (recuerda aplicar ley de signos de ser necesario).
2.- Realizar la división entre literales una a una, recordando la ley de exponentes para la división.
3.- Unir los resultados mediante multiplicaciones (simplemente pega los resultados), tomando en cuenta que primero va el resultado de la división entre coeficientes y luego va el resultado de las literales en orden alfabético.
Caso 2: Polinomio entre monomio
En este caso aplicaremos la propiedad distributiva como en el producto de expresiones. En este caso, el monomio debe dividir a cada término del polinomio (cada uno de ellos será un caso 1), tomando en cuenta los signos de cada término y recordando las leyes de exponentes y de signos.
Observemos el siguiente ejemplo para que te de una idea de lo que sucede en estos casos:
Como bien pudiste observar, el procedimiento sigue el mismo proceso que el caso 1, solo que ahora estamos uniendo los resultados mediante los signos resultante de los cocientes. De igual manera, estamos respetando el grado de los términos y el orden alfabético de las letras (aunque esto ultimo dependerá del profesor).
Caso 3: Polinomios
Seguramente estabas esperando la explicación para este caso, ya que suele ser parte de una examen de álgebra pre-universitario o universitario en el 100% de los casos. Para la división entre polinomios se utilizará un método con el que estas muy familiarizado, es decir el método que observaste al principio de este tema. De manera coloquial se le denominará el método de la "casita", en donde tendremos un dividendo, es decir el polinomio que va arriba de la división se pone dentro de la "casita" y un divisor (el polinomio que va a dividir va afuera de la "casita").
El método de división larga, que es como se conoce al método, recurre al modelo de la división que aprendimos en primaria, donde multiplicamos y vamos restando. En nuestro caso, al ser expresiones y no solo números, utilizaremos la parte de la derecha como apoyo para nuestro cálculos.
Al igual que en la primaria cuando hacíamos divisiones de números, en algunos casos el resultado era exacto (el residuo era 0) mientras que en otro nos quedaba un residuo al final. En el caso de la división larga de polinomios sucede lo mismo, por lo que haremos dos ejemplos para aprender a como expresar el resultado del cociente:
División exacta
Para empezar con este ejercicio, observa en la imagen que los polinomios que se nos otorgan están con los términos desordenados, eso quiere decir que los términos no siguen el orden según sus exponentes. Es por lo anterior que el primer paso para realizar una división larga es ordenar los términos de ambas expresiones para poder obtener claridad en nuestro procedimiento.
A continuación tenemos otro tip: existen polinomios que no contienen a todos sus términos (hablando de los exponentes), lo que puede causar un poco de confusión a momento de hacer la división. Es por ello que te aconsejamos colocar un termino con la literal y exponentes que haga falta, siempre y cuando su coeficiente sea 0, por ejemplo en la imagen el polinomio a dividir tiene el exponente 3,1 y 0 pero no el 2, es por ello que al colocarlo en la casita se observa un +0x^2.
Hecho lo anterior procedemos al algoritmo de la división:
1.- Colocamos el divisor a fuera de la casita y al dividendo dentro de la casita.
2.- Tomamos el primer término del dividendo y lo dividimos por el primer término del divisor, el resultado irá arriba.
3.- Multiplicar el resultado por el divisor y restarlo al dividendo, observa que nosotros hemos cambiado los signos directamente para mayor limpieza en el procedimiento, si el resultado de la multiplicación era negativa, en la parte de abajo se pone positiva y viceversa.
4.- Realizamos lo mismo que en la primaria: el resultado de la resta pasa a otra linea y bajamos el siguiente término.
5.- Realizamos los pasos 2 a 4 pero ahora con el nuevo polinomio de la última línea (en nuestro caso era el -2x^2+4x).
El procedimiento se realiza hasta que el término que tomemos de adentro de la casita tenga como exponente un número menor al exponente del primer término del divisor (2x).
Intenta realizar el mismo ejercicio que el de la imagen por ti mismo y cuando termines compara tu resultado con el nuestro, observa que el resultado es el polinomio que se formó arriba de la casita y que la división es exacta puesto que el resultado dentro de la casita en la ultima línea es de 0.
División con residuo
Como se observa en la primera imagen de la entrada, normalmente la división de elementos no es exacta y conlleva a generar una parte que no se puede dividir sin que se obtenga un valor "entero" (en el caso de los números) o "propio" en el caso de las expresiones algebraicas (que el exponente del primer término sea menor al del divisor).
Observa el siguiente ejemplo que emplea los mismos pasos que en el caso exacto de una división, lo único que cambia es la forma en que representamos el resultado de la división:
Como pudiste observa, el resultado de obtiene al escribir el polinomio de arriba de la casita, para luego sumarle/restarle (dependiendo del signo del residuo) el residuo y este último debe ir dividido sobre el divisor, denotando que se trata de una división inexacta o con residuo.
Con esto terminamos el tema de operaciones con divisiones algebraicas, si tienes alguna duda o te gustaría que hiciera algún vídeo resolviendo más problemas con expresiones házmelo saber dejándolo en un comentario de mi canal de youtube o en mi página de Facebook. Hasta luego.