Multiplicación de expresiones algebraicas

Una vez que ya sabes como sumar y restar expresiones algebraicas, es hora de dar un paso hacia la multiplicación de estas.

Esta operación tienen sub-casos que se dan dependiendo que elementos se estén multiplicando y cabe recalcar que para la realización de esta operación se debe contar con conocimientos acerca de agrupación de términos semejantes, leyes de exponentes y ley de signos para el producto de números.

Los casos que se presentan son:

1) Multiplicación de monomios.

2) Multiplicación de monomio por polinomio.

3) Multiplicación de polinomio por polinomio.

Si alguna de éstas palabras no las comprendes, te recomiendo leer la entrada acerca de lenguaje algebraico para indagar acerca de su significado.

En este caso, se utilizarán como partes de la multiplicación (también llamada como producto) dos monomios, que tienen la estructura que se muestra en la imagen de la izquierda. Estos elementos tienen una parte denominada coeficiente y la otra llamada literal o literales (puede tener una o mas letras) y estas literales pueden tener exponentes.

A grandes rasgos, el procedimiento para realizar una multiplicación entre 2 monomios es la siguiente:

1) Tomar los coeficientes y multiplicarlos (como todos aprendimos en primaria)

2) Tomar cada tipo de literal y multiplicarlas aplicando la ley de exponentes, este paso se realiza para cada tipo de letra que se tenga. En caso de haber una letra el primer monomio que no está en el segundo monomio, simplemente se agrega al resultado.

El resultado se expresa colocando primero el resultado del paso 1 que va a multiplicar cada una de las letras (en orden alfabético de preferencia) con los exponentes correspondientes del paso 2.

He aquí dos ejemplos con monomios para que comprendas los pasos anteriores:

En este caso, tenemos la multiplicación de un monomio por un polinomio, donde este segundo elemento puede tener 2 o más términos que lo compongan, visita la sección de lenguaje algebraico si no comprendiste lo anterior.

Para realizar esta operación con este tipo de elementos, debe comprender lo que la propiedad distributiva: Esta operación en una propiedad de la multiplicación que se aplica a una suma o resta de términos. Esta propiedad nos indica que cada termino del polinomio va a ser multiplicado por el término del monomio y que el resultado sera la unión de las cantidades obtenidas en el primer paso, considerando los signos que se obtuvieron en cada operación, como se puede ver en la imagen de la izq, en el ejemplo a(b-c)=ab-ac.

De esta manera, los pasos que seguiríamos serían los siguientes:

1) Aplicamos la propiedad distributiva. En la imagen debajo se puede observar como se aplica a cada término del polinomio la propiedad distributiva, al multiplicarla por el monomio.

2) Operamos cada multiplicación individual como si fueran del tipo 1 (ver ejemplo de arriba).

3) Unimos los resultados del paso 2 considerando los signos que se obtuvieron.

Este caso es el más complejo de los tres tipos de producto con expresiones algebraicas. Dada su naturaleza, existen dos maneras de llevar a cabo esta operación siendo la primera la "manera horizontal": Esta forma de operar se basa en lo aprendido en los casos anteriores dado que aplicaremos la propiedad distributiva según tanto términos tenga el primer polinomio para posteriormente aplicar lo aprendido en el caso 1 según tantos términos tenga el segundo polinomio.

Con esta definición, el caso 2 es un caso especial del caso 3 puesto que la primera expresión solo tiene 1 término, por lo que solo aplicamos una sola vez la propiedad distributiva y luego realizamos las "n" veces el caso 1 con cada término de la segunda expresión.

Te invito a observar la imagen de la derecha, ahí tenemos dos binomios, por lo que realizamos la propiedad distributivas dos veces, y como tenemos 2 términos en la segunda expresión terminamos con 4 casos 1 que resolver. De esta manera tendríamos los siguientes pasos:

Siendo P(x) un polinomio con "m" términos y Q(x) otro polinomio con "n" términos, se realiza lo siguiente:

1) Aplicamos la propiedad distributiva "m" veces a Q(x) obteniendo así "m*n" casos 1.

2) Resolvemos cada caso 1.

3) Unimos los resultados considerando los signos, el grado de cada término u otra delimitación que el profesor te indique.

4) Como cuarto paso, reducimos términos semejantes ya que en este caso se tiende a obtener términos de este tipo, y para poder visualizar de mejor manera el resultado hay que llevar a cabo este paso.