Buen día chicos. Hoy repasaremos un tema que hemos estado estudiando de forma implícita en la escuela pero que es fundamental conocer para estudiar algunos temas de calculo diferencial. 

Como cualquier otro tema, es importante que domines los temas básicos o requeridos para, de esta manera, poder comprender al máximo posible lo que se te está explicando. En este caso, los temas a cubrir no serán más que el uso de funciones y a como interpretarlas.

Lo primero que tienes que saber es que una función es una relación (o regla) que existe entre dos conjuntos de elementos, en nuestro caso son conjuntos de números. Hagamos un ejemplo usando la imagen superior:

La función sería "la cantidad de lados que posee la figura" y como podrás observar los triángulos se han relacionado con un 3, el cuadrado con el 4 y así sucesivamente. En una función siempre hay una relación de dependencia, es decir,  una cantidad depende de otra. En nuestro ejemplo el número con que se relacione la figura depende únicamente de los lados que éste posea.

Aquí la regla de dependencia esta representada con una flecha que une a los valores del conjunto "x" con lo valores del conjunto "y". Por cierto, es primordial que cada uno de los valores de "x" tenga SOLO UN VALOR en el conjunto "y" y viceversa, si esto se cumple entonces estaremos trabajando con una función.

Te pregunto ahora el ejemplo ¿Es una función o no?

Si tu respuesta fue no, entonces ya comprendiste el concepto de función. El ejemplo anterior no puede serlo pues más de un elemento en "x" esta relacionado con un elemento en "y" por lo tanto no se cumple la condición para una función.

Para las funciones que estaremos viendo, los conjuntos "x" y "y" son de números reales y la regla de correspondencia será una expresión algebraica que contenga a una de las dos variables (ya que una depende de la otra).

En este momento debe rondar por tu cabeza el cómo relacionar la explicación de arriba con las ecuaciones y expresiones que tu profesor te dejó como trabajo para el hogar. Respondiendo a ello debes comprender que en matemáticas la frase "enseñar con peras y manzanas" es valida y por lo tanto es más sencillo de comprender de lo que parece.

Una función se compone por dos partes principales: la primera la denominamos como la parte dependiente que se representa como f(x), aunque en muchos libros simplemente lo denominan "y". Desde nuestro punto personal la primera forma de escribir es la más adecuada ya que nos hace saber en base a que estamos trabajando (en este caso en base a la "x").

Luego, como segundo elemento está la parte independiente, es decir aquella que solo cambia por nuestra voluntad y no por la de operaciones. Es una expresión de cualquier grado que puede o no involucrar a un elemento que denominamos variable independiente (que como te imaginarás es la x que acompaña a la f(x) en la primera parte).

Básicamente una función sería algo como esto:

Donde la variable independiente es la x y la función como tal es x al cuadrado más 9.

Para esta representación siempre se cumple la regla de correspondencia 1 a 1 ya que a cada valor de x solo hay un posible valor para f(x), por ejemplo para el x=2 ; f(x)=13, y para x=5 ; f(x)=34. Lo anterior ocurre para cualquier función de esta forma.

Ahora tenemos la otra cara de la moneda. Como ya sabrás, una expresión puede ser representada por una gráfica en un espacio de dos dimensiones, entonces por lo tanto una función también puede ser representada mediante gráficas y eso nos lleva a su clasificación.

En la forma gráfica los valores de la variable independiente (digamos x) están sobre el eje horizontal x (abscisas), mientras que los valores de f(x) se encontrarán representados a lo largo de todo el eje y (ordenada) de plano cartesiano.

De esta forma podemos representar un función en el plano cartesiano como una colección de punto esparcidos por éste respondiendo obviamente a un regla o función.

Dependiendo del tipo de función, la forma que toma en el plano es diferente unas de otras pero en general existen funciones muy fáciles de distinguir, veamos algunas de ellas:

Como puedes observar en la siguiente imagen, algunas de las funciones es posible que ya las reconozcas (por ejemplo la de la línea recta). De hecho, algunas de ellas son muy usadas en temas avanzados de ingeniería, ecuaciones diferenciales y muchas más cosas que por el momento no son más que un punto de referencia. 

Ahora bien, como dato extra y un método para reconocer que una gráfica corresponde verdaderamente a una función es utilizando el criterio de la línea vertical. Este proceso (muy sencillo de realizar) consiste en trazar una línea vertical imaginaria en cualquier parte del plano. Sí al hacer lo anterior, la línea que dibujamos toca dos puntos entonces el gráfica NO corresponde a una función. De forma contraria, si la línea solo toca en un punto a nuestra gráfica entonces SI corresponde a una función. 

Puedes realizar esta prueba de forma rápida con un lápiz sobre alguna de las 8 funciones que están en la imagen para darte cuenta que siempre se cumple que al poner el lápiz en forma vertical sobre alguna de las gráficas siempre tocamos un solo punto. 

Pd: Recuerda dar click en la imagen para aumentarla y que te sea más fácil hacer el experimento.

Ahora que ya sabes que es una función, sería buena idea que aprendieras a construir algunas ¿no? Para ello te invito al sub-tema sobre construcción de gráficas mediante sustitución. Ahí mismo encontrarás la respuesta a la pregunta ¿Existen funciones hechas de otras funciones?